20．（2009年邵阳市）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB＝AD＝DC,AC⊥AB,延长CB至F，使BF＝CD.
(1)求∠ABC的度数
(2)求证：△CAF为等腰三角形。
AD//BC，AB＝AD＝DC
∠DAC=∠DCA=∠ACB,
这是一个等腰梯形
∠ABC=∠DCB=2∠ACB
AC⊥AB
∴∠ACB+∠ABC=90°
∴ ∠ABC=60°
2）由（1）得到：∠ABC=60°，∠ACB=30°
∵BF＝CD，AB＝DC
∴BF=AB
∠BAF=∠AFB
∠ABC=60°
∴∠ABC=∠BAF+∠AFB=60°
∠AFB=∠ACB=30°
∴AC=AF
∴△CAF为等腰三角形
因为AB=CD
所以∠D=∠DAB(等腰梯形)
因为AD//BC
所以∠DAB=∠ABF
所以∠D=∠ABF
因为AB＝AD＝DC,BF＝CD
所以三角形ADC全等三角形ABF,∠BAF=∠F
所以AC=AF
所以△CAF为等腰三角形
所以∠ACB=∠F
因为∠F+∠CAF+∠ACF=180度
所以3∠F=90度
∠F=30度
∠ABC=2∠F=60度(三角形外角)
初三数学几何题,湖南邵阳2009年中考题类似问题答案