2019年辽宁科技大学硕士研究生自命题考试大纲高等代掌握欧氏空间的概念及计算

Ⅲ.考试形式和试卷结构

1、试卷满分及考试时间

本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

2、答题方式

答题方式为闭卷，笔试。

3、试卷内容结构

多项式理论约20分；行列式计算约15分；一般线性方程组约20分；矩阵及其运算约20分；二次型约20分；线性空间约20分；线性变换约15分、欧氏空间约20分。

Ⅳ.试卷题型结构

题型包括计算题、证明题等。

Ⅴ.考查内容

（1）多项式的运算及性质：掌握多项式的运算及性质；掌握大公因式的概念与求法（辗转相除法）；了解代数基本定理、复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理。掌握求整系数多项式有理根的理论与方法；了解Eisenstein判别法。

（2）行列式：了解排列、排列的逆序数、偶排列与奇排列的概念与性质；了解n阶行列式的定义；掌握用行列式的性质计算行列式；掌握行列式按行按列展开的法则；了解克拉默法则。

（3）一般线性方程组理论：熟练掌握利用初等变换（消元法）解线性方程组的方法；掌握齐次线性方程组有非零解的条件；熟练掌握向量组线性相关、线性无关的概念及性质；会求向量组的极大线性无关组与秩。掌握线性方程组有解判别定理；掌握齐次线性方程组解的性质及基础解系的概念；熟练掌握求齐次线性方程组基础解系的方法；掌握非齐次线性方程组解的结构定理。

（4）矩阵相关概念及计算：熟练掌握矩阵的加法、乘法、数量乘法及矩阵的转置定义及性质；掌握矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系；掌握矩阵可逆及逆矩阵的概念；了解伴随矩阵与逆矩阵的关系；了解可逆矩阵与矩阵乘积的逆与秩的关系；了解分块矩阵及分块矩阵的运算规律及应用；熟练掌握求逆矩阵的方法。

（5）二次型相关理论及计算：掌握矩阵合同的概念及性质。掌握用非退化线性替换化二次型为标准形的方法；了解复二次型、实二次型的规范形及规范形的唯一性（惯性定理）。掌握正定二次型及正定矩阵的概念；了解二次型为正定的充分必要条件及正定矩阵的性 质。

（6）线性空间及线性变换相关理论及计算：了解线性空间的定义与简单性质；掌握线性空间维数、基与坐标的概念；掌握过渡矩阵的概念及坐标变换公式；了解子空间的概念；掌握线性空间的非空子集成为子空间的条件；掌握由生成子空间概念及性质；了解子空间交与和的概念；了解维数公式；了解直和的概念；掌握直和的充分必要条件。掌握同构概念及性质；了解数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件。掌握线性变换的概念；熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的概念；掌握用线性变换矩阵计算向量的象的坐标的公式；线性变换在两组基下的矩阵之间的关系；相似矩阵的概念与性质；熟练掌握特征值与特征向量的概念以及求特征值与特征向量的方法；了解特征子空间概念；了解Hamilton-Caylay定理；掌握n维线性空间的一个线性变换在某基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件及判别办法；掌握矩阵相似于一个对角矩阵的条件；掌握线性变换的值域与核的概念及主要性质；了解不变子空间的概念及主要性质。

（7）欧氏空间的概念及计算：掌握欧几里得空间的定义及基本性质、向量长度的概念、单位向量、柯西-布涅柯夫斯基不等式、夹角的概念；正交向量及性质；熟练掌握度量矩阵的概念。掌握标准正交基定义；熟练掌握施密特正交化过程；了解欧氏空间同构的概念及条件；掌握正交变换方法。

参考书目：

1.《高等代数》，王萼芳，石生明高等教育出版社，第4版。

2.《高等代数》，张禾瑞、耗炳心新，高等教育出版社，第5版。

3.《高等代数辅导与习题解答》，王萼芳、石生明，高等教育技术出版社。