2019年湖南理工学院硕士研究生考试自命题考试大纲高等代次型

考试内容

二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。

考试要求

（1）正确理解二次形和非退化线性替换的概念，掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系，掌握矩阵的合同概念及性质。

（2）理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的两种基本方法。

（3）正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性，了解符号差、惯性指数等概念，掌握惯性定理的证明思想。

（4）正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念，熟练掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。

（1）正确理解和掌握线性空间的定义及性质，会判断一个代数系统是否为线性空间。

（2）理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，正确理解和掌握 维线性空间的概念及性质。

（3）基变换与坐标变换的关系。

（4）正解理解和掌握基之间的过渡矩阵及其性质。

（5）正确理解线性子空间的定义及判别定理，掌握线性方程组的解空间的概念和性质，掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。

（6）掌握子空间的交与和的定义及性质，掌握维数公式并能熟练运用。

（7）深刻理解子空间的直和的概念，以及判断直和的若干充要条件。

（1）理解和掌握线性变换的定义及性质。

（2）掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。

（3）深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系，掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。

（4）理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量，掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密顿-凯莱定理。

（5）掌握 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件。

（6）掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。

（7）掌握不变子空间的定义，会判定一个子空间是否是A-子空间，深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握将空间V按特征值分解成不变子空间和直和表达式。

（8）了解若尔当(Jordan)标准形及其相关性质。

（9）掌握小多项式的定义和基本性质，会求任意Jordan标准形矩阵的小多项式。

（1） 了解-矩阵的定义，理解-矩阵可逆的充要条件。

（2） 了解-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。

（3） 了解-矩阵的等价标准形

（4） 了解特征矩阵E-A之间的等价和矩阵之间的相似的关系。

（1）深刻理解欧氏空间的定义及性质，深刻理解内积的本质，掌握向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及度量矩阵等概念和基本性质，掌握各种概念之间的联系和区别。

（2）正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

（3）正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。

（4）正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及有限维欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。

（5）深刻理解并掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。

（6）正确计算向量之间的距离，了解小二乘法原理。

五、主要参考书目

[1]北京大学数学系编，高等代数(第四版)，高等教育出版社,北京（2013）.

[2]张禾瑞，郝炳新编，高等代数(第五版)，高等教育出版社，北京（2007）.