2008盐城数学中考题压轴题详解

解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)当a≠0时，△=1- 4a=0，a = 14 ，此时，图象与x轴只有一个公共点．∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=14 x2+x+1……（3分） （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．∵y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=14 x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）………（4分）∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴ ，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)∵点P在二次函数y=14 x2+x+1的图象上，∴-4-2x=14 x2+x+1…………………（6分）解之得：x1=-2，x2=-10∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）（3）点M不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………………………………（8分）由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ ∴QE‖MD，QE=12 MD，QE⊥CE∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =12 CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=85 ，QE=165 ∴Q点的坐标为(-185 ，165 )可求得M点的坐标为(145 ，325 )…………………………………………………（11分）∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………（12分）