边长为a的正三角形ABC内有一边长为b的内接正三角形DEF,则三角形AEF的内切圆半径为 ？
解：边长为b的内接正三角形DEF，内接于边长为a的正三角形ABC则∠A=∠B=∠EFD=60°,AB=a，EF=DF=b∠AFE+∠BFD=∠BDF+∠BFD=120°所以∠AFE=∠BDF△AFE≌△BDF ， 同理可证△AFE≌△CED 所以AE=BFAF+BF=a所以AF+AE=a设三角形AEF的内切圆圆心为O,半径为rs△AFE=s△OAF+s△OAE+s△OEF=AF*r/2+AE*r/2+EF*r/2=（AF+AE+EF)r/2=(a+b）r/2s△ABC=1/2*AB*AC*sin60°=√3a²/4 s△DEF=1/2*DE*DF*sin60°=√3b²/4因为△AFE≌△BDF≌△CED 所以s△AFE=s△BDF=s△CED所以3s△AFE+s△DEF=s△ABC即3*(a+b）r/2+√3b²/4=√3a²/43(a+b）r/2=√3a²/4-√3b²/43(a+b）r/2=√3（a²-b²）/4r=√3（a-b）(a+b）/4*2/[3(a+b）]=√3(a-b)/6 三角形AEF的内切圆半径为√3(a-b)/6
首先你要知道：三角形的面积等于三角形的周长*内切圆的半径的一半。在这个题目中，三角形AEF与三角形BED，CFE是全等的，则AE+AF=A，所以三角形AEF的面积等于1/2*（AE+AF+EF）=（a+b)/2.再三角形AEF的面积还等于三角形ABC的面积(√3a^2/4)-三角形DEF的面积(√3b^2/4)的三分之一，即(a+b)r=1/3*(√3a^2/2-√3b^2/2),化简，得r=√3(a-b)/6 应该是这样啦。。我的能力也有限 。。。嘿嘿！
2008年无锡市数学中考的选择题第12道类似问题答案