2022年中国科学院大学硕士研究生入学考试《概率论与数理统计》考试大纲

中国科学院大学硕士研究生入学考试《概率论与数理统计》考试大纲

本《概率论与数理统计》考试大纲适用于中国科学院大学非数学类的硕士研 究生入学考试。概率统计是现代数学的重要分支， 在物理、化学、生物、计算机 科学等学科有着广泛的应用。考试的主要内容有以下几个部分：

概率统计中的基本概念

随机变量及其分布

随机变量的数学特征及特征函数

独立随机变量和的中心极限定理及大数定律

假设检验

点估计及区间估计

简单线性回归模型

要求考生对基本概念有深入的理解， 能计算一些常见分布的期望、方差， 了解假 设检验、点估计及区间估计的统计意义， 能解决一些经典模型的检验问题、区间 估计及点估计。后，能理解大数定律及中心极限定理。

一、    考试内容

（一） 基本概念

1 ．样本、样本观测值

2 ．统计数据的直观描述方法：如干叶法、直方图

3 ．统计数据的数字描述：样本均值、样本方差、中位数事件的独立性、 样本空间、事件

4 ．概率、条件概率、 Bayes 公式

5 ．古典概型

（二） 离散随机变量

1 ．离散随机变量的定义

2 ．经典的离散随机变量的分布

a.   二项分布

b.   几何分布

c.   泊松分布

d.   超几何分布

3 ．离散随机变量的期望、公差

4 ．离散随机变量的特征函数

5 ．离散随机变量相互独立的概念

6 ．二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及二个离散随机 变量的相关系数

（三） 连续随机变量

1 ．连续随机变量的概念

2 ．密度函数

3 ．分布函数

4 ．常见的连续分布

a.   正态分布

b.   指数分布

c.   均匀分布

d.   t 分布

e.   2 分布

5 ．连续随机变量的期望、方差

6 ．连续随机变量独立的定义

7 ．二维连续随机变量的联合密度、条件密度、边缘分布及二个连续随机 变量的相关系数

8 ．连续随机变量的特征函数

（四） 独立随机变量和的中心极限定理和大数定律

1 ．依概率收敛

2 ．以概率 1 收敛（或几乎处处收敛）

3 ．依分布收敛

4 ．伯努利大数定律

5 ．利莫弗-拉普拉斯中心极限定理

6 ．辛钦大数定律

7 ．莱维-林德伯格中心极限定理

（五） 点估计

1 ．无偏估计，克拉美-劳不等式

2 ．矩估计

3 ．极大似然估计

（六） 区间估计

1 ．置信区间的概念

2 ．一个正态总体的期望的置信区间

3 ．大样本区间估计

4 ．两个正态总体期望之差的置信区间（方差已知）

（七） 假设检验

1 ．检验问题的基本要素： 第一类错误的概率、第二类错误的概率、检验 的功效、功效函数、检验的拒绝域、原假设、备择假设

2 ．一个正态总体的期望的检验问题

3 ．大样本检验

4 ．基于成对数据的检验（t 检验）

5 ．两个正态总体期望之差的检验

（八） 简单线性回归模型

1 ．简单线性回归模型定义

2 ．回归线的斜率的小二乘估计

3 ．回归线的截距的小二乘估计

4 ．随机误差（随机标准差）的估计

二、    考试要求

（一） 基本概念

1 ．理解样本、样本观测值的概念

2 ．了解并能运用统计数据的直观描述方法如：干叶法、直方图

3 ．理解样本均值、样本方差及中位数的概念并能运用相关公式进行计算

4 ．掌握如下概念：概率、样本空间、事件、事件的独立性、条件概率，理解并能灵活运用Bayes  公式

5 ．理解古典概型的定义并能熟练解决这方面的问题

（二） 离散随机变量

1 ．理解离散随机变量的定义

2 ．理解如下经典离散分布所产生的模型

a.   二项分布

b.   几何分布

c.   泊松分布

d.   超几何分布

能熟练计算上述分布的期望、方差， 能熟练应用上述分布求出相应 事件的概率

3 ．了解离散随机变量的特征函数的定义和性质

4 ．了解两个离散随机变量相互独立的概念

5 ．理解二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及两个离散 随机变量的相关系数的概念并能熟练运用相关的公式解决问题

（三） 连续随机变量

1 ．理解连续随机变量的概念

2 ．理解密度与分布的概念及其关系

3 ．熟悉如下常用连续分布

a.   正态分布

b.   指数分布

c.   均匀分布

d.   t 分布

e.   2 分布

4 ．了解连续分布的期望、方差的概念

5 ．了解有限个连续随机变量相互独立的概念

6 ．理解二维连续随机变量的联合密度、条件密度、边缘分布及二个连续 随机变量的相关系数并能运用相关公式进行计算

7 ．了解连续随机变量的特征函数的概念及性质

（四） 独立随机变量和的中心极限定理和大数定律

1 ．了解依概率收敛、以概率 1 收敛（或几乎处处收敛）、依分布收敛的 定义，了解上述收敛性的关系

2 ．理解并掌握伯努利大数定律和利莫弗-拉普拉斯中心极限定理

3 ．了解辛钦大数定律、莱维-林德伯格中心极限定理

（五） 点估计

1 ．理解无偏估计、矩估计、极大似然估计

2 ．能够计算参数的矩估计、极大似然估计

（六） 区间估计

1 ．理解置信区间的概念

2 ．能够计算正态总体的期望的置信区间（包括方差已知、方差未知两种 情况）

3 ．在样本容量充分大的条件下，能够计算近似置信区间

4 ．能够计算两个正态总体的期望之差的置信区间（方差已知）

（七） 假设检验

1 ．理解以下概念： 第一、二类错误的概率、检验的功效、功效函数、检 验的拒绝域、检验的原假设、备择假设

2 ．能给出一个正态总体的期望的检验的拒绝域（包括方差已知、方差未 知）

3 ．能用大样本方法求拒绝域

4 ．能给出基于成对数据的检验问题的拒绝域

（八） 简单线性回归模型

1 ．理解简单线性回归模型定义，能写出模型的数学表达式

2 ．能计算回归线的斜率、截距的小二乘估计

3 ．了解随机误差（随机标准差）的估计

三、    参考书

1 ．陈希孺， 概率论与数理统计， 科学出版社， 中国科技大学出版社， 1999

2 ．盛骤， 谢式千， 潘承毅， 概率论与数理统计， 高等教育出版社（第三 版）， 2001

3 ．刘光祖，概率论与应用数理统计，高等教育出版社， 2000

编制单位：中国科学院大学  编制日期： 2021 年 6 月 18  日