科目代码:856 科目名称:高等代数 考试范围: 一、多项式:数域上一元多项式的定义、运算及运算规律;带余除法,整除的定义及性质;多项式的大公因式、互素等概念及性质,辗转相除法;不可约多项式的定义及性质,因式分解定理,标准分解式; k重因式的定义, 判断一个多项式有无重因式;多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质;复系数、实系数多项式的因式分解;有理系数多项式的可约性的判定, 多项式的有理根。 二、行列式:n级行列式的定义及其基本性质;余子式、代数余子式,行列式按一行(列)展开及拉普拉斯(Laplace)定理;低阶行列式,有规律的高阶行列式的计算;克莱姆(Cramer)法则。 三、线性方程组:线性组合、线性相关、线性无关的定义、性质及其判断;向量组的极大无关组、秩的定义及其求法;矩阵的行秩、列秩、秩的定义,矩阵的秩与其子式的关系;线性方程组的有解判别定理,含参数线性方程组解的讨论;齐次线性方程组基础解系,非齐次线性方程组有解的情况下解的表示。 四、矩阵:矩阵的基本运算及其规律,有关矩阵秩的常见等式与不等式;可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念,矩阵可逆的充要条件;初等矩阵、初等变换, 矩阵的等价标准形,求一个方阵的逆矩阵;分块矩阵的意义及其运算,分块矩阵的初等变换和广义初等矩阵的关系,求分块矩阵的逆。 五、二次型:二次型,二次型的 (相伴)矩阵和非退化线性替换的概念;二次型的标准形,化二次型为标准形的方法(配方法、合同变换法);复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性,惯性定理;正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念,正定二次型及半正定二次型的等价条件。 六、线性空间:线性空间的定义及性质,判断一个代数系统是否是线性空间;线性空间的基、维数、向量坐标的概念及性质,基变换与坐标变换;子空间的定义及判别定理,向量组生成子空间的定义及等价条件;子空间的交与和的定义、性质及其求法,维数公式;子空间直和的概念,和为直和的充要条件。 七、线性变换:线性变换的定义及性质、运算及运算规律;有限维线性空间中, 线性变换与矩阵的关系;特征值、特征向量、特征多项式的概念、性质和计算, 哈密尔顿-凯莱定理; 维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件;线性变换的值域、核、秩、零度等概念及其计算;不变子空间的定义,判定一个子空间是否是A-子空间,不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系,空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。 八、 矩阵:若当标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。 九、欧几里得空间: 欧氏空间的定义及性质,度量矩阵的概念和基本性质;正交向量组、标准正交基的概念,施密特正交化过程;两个子空间正交的概念, 欧氏空间中子空间都有唯一的正交补的性质;正交变换的概念及几个等价条件; 对称变换的定义及性质,实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵,正交替换法 化实二次型为标准形。 参考书目: 《高等代数》第四版,北京大学数学系编,高等教育出版社。 |