硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称: 泛函分析
一、援引教材
《泛函分析》第二版高等教育出版社江泽坚孙善利编
二、考试要求
要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能灵活运用，具备较强的分析问题与解决问题的能力。
三、考试内容
（一）距离线性空间
1． 距离线性空间的定义，常见的距离线性空间的距离定义及其性质。
2． 距离空间中的拓扑涵义，可分空间。
3． Cauchy序列的性质，距离空间的完备性。
4． 列紧集，完全有界集的定义及它们之间的关系。
5． 赋范线性空间定义；范数与距离的关系；有限维赋范线性空间的结构。
6． 赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。
7． 常见空间
以及
等空间中距离与范数之间的定义及关系。掌握这些空间的可分性，完备性及拓扑性质。
8． 压缩映射定义，掌握压缩映象原理，并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理在理论上的典型应用。
（二）Hilbert空间
1． 内积空间的定义，性质；内积与范数、距离之间的关系。
2． 赋范线性空间成为内积空间的条件，常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。
3． 掌握内积空间
的定义及其性质。
4． Hilbert空间的定义；Hilbert空间上的正规正交基，正规正交分解；
5． 掌握并熟练运用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。
6． 掌握可分Hilbert空间的结构。
7． 掌握射影定理，理解其涵义，并能加以应用；掌握
表现定理，Hilbert空间上的线性泛函的表示。
8． Hilbert共轭算子的定义、性质及其表示；可分Hilbert空间上有界线性算子的矩阵表达式。
（三）Banach空间及Banach空间上的有界线性算子
1. Banach空间上的有界线性算子定义；算子范数的计算；范数的比较。
2. 有界线性算子空间
的性质。
3. 算子的逆，逆算子存在、连续的条件；利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。
4. Hahn-Banach定理；扩张定理的几种表现形式，如Banach扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk定理等。
5. Hahn-Banach定理的一些推论，体现的不同侧面的Hahn-Banach定理的具体表现形式；Hahn-Banach定理的几何形式。Hahn-Banach定理在理论及实际上的应用。
6. 分离定理，及其与Hahn-Banach定理之间的关系。
7. Baire纲定理；第一纲集、第二纲集的定义与分类。
8. 一致有界原理（共鸣定理）；开映射定理；Banach逆算子定理；闭图形定理以及它们的应用。
9. 对偶空间的定义，几个具体空间上的对偶空间及它们的连续泛函形式，如
等。
10. 二次对偶、典型映射、自反空间的定义；有限维赋范线性空间、
、Hilbert空间的自反性质。了解常见的不是自反空间的例子。
11. Banach共轭算子的定义、性质及其矩阵表示。
12. 算子的值域、零空间、商空间的定义与它们之间的关系。
（四）有界线性算子谱论
1. 有界线性算子的预解式与谱的定义及其计算。
2. 掌握谱半径公式，应用公式解决问题。
3. 射影算子的定义；有界线性算子的不变子空间与约化子空间；F.Riesz空间分解定理。
4. 紧算子的定义及其性质；紧算子的实例；紧算子与理想的关系。
5. Riesz-Schauder理论：F.Riesz定理；两择一定理；Fredholm交替定理等定理内容与应用。
6. 有界自伴算子的基本性质；紧自伴算子的定义与性质；酉算子的定义与性质。
7. 有界自伴算子的谱测度，谱分解定理与函数演算。