2019年南京信息工程大学博士研究生招生入学考试考试大纲-高等数值分析

南京信息工程大学博士研究生招生入学考试

考试大纲

科目代码：2012

科目名称：高等数值分析

第一部分 大纲内容

一、绪论

1. 了解计算机算法的特性；

2. 理解误差的定性分析与避免误差的危害、数值运算的误差估计、算法的数值稳定性；

3. 掌握误差的来源与分类、误差与有效数字；

二、矩阵分析基础

1.建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念；

2. 掌握向量和矩阵的范数、向量和矩阵序列的极限；

3.掌握内积空间中的正交系、矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解；

4.施密特(Schmidt) 正交化过程、正交多项式；

三、数值逼近

1. 理解插值法的基本原理；掌握用拉格朗日插值公式、牛顿插值公式进行插值的方法；

2. 掌握分段低次插值、样条插值、埃尔米特插值及其插值余项和误差估计方法；

3. 了解上述几种常用插值法的优缺点，并能够根据实际问题选择适当的插值方法进行函数逼近；

4. 等距节点的牛顿前差（后差）插值、带导数的插值和分段低次插值、插值余项；

5. 了解三角多项式逼近及快速傅立叶变换；

6. 理解函数逼近、有理逼近的概念；

7. 掌握佳平方逼近方法、曲线拟合的小二乘法；对于给定的一组数据，能够根据小二乘原理在某一函数类中选择函数，与其所给数据组拟合来解决一些实际问题；

四、线性方程组的数值解法

1. 了解研究求解线性方程组的数值方法分类及直接法的应用范围；

2. 掌握线性方程组的直接解法——高斯主元消去法、 LU三角分解法、平方根法、 追赶法与三对角方程组的解法；

3. 理解矩阵的谱半径、矩阵的条件数等概念，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计；

4.掌握线性方程组的经典迭代方法——雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及 SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式以及迭代法的收敛性判定方法；

5. 掌握线性方程组的Krylov子空间方法；

6.了解极小化方法：速下降法、共轭梯度法；

五、非线性方程组求根

1.了解求解非线性方程和非线性方程组的常用数值方法；

2. 理解迭代法的基本原理、迭代过程的收敛性及收敛速度；迭代过程的加速原理；

3. 掌握求解非线性方程组的不动点迭代法、牛顿法及其收敛性；

六、数值积分与数值微分

1. 了解数值微分方法的基本思想；高斯-勒让德等求积公式、多重积分、数值微分公式；

2. 理解数值积分公式的一般形式及导出方法、理解自适应积分方法；比较牛顿- 柯特斯求积公式与高斯求积公式的异同点；龙贝格算法；

3. 掌握代数精度的概念、插值型的求积公式、几种低阶求积公式及余项使用；

七、矩阵特征值问题

1. 了解特征值的估计、正交变换的Givens和Householder变换、矩阵的QR法分解；

2. 理解幂法和反幂法的原理和解决的对象及其加速方法, 矩阵的QR法分解的原理和变形和同时过程；

3. 掌握幂法和反幂法和基本的QR法；

第二部分 说明

1、基本要求：

掌握基本的概念、原理和基本知识；掌握各种算法及其应用；掌握算法的基本原理和理论基础。

2、分值比例：

第一章  5％

第二章  10％

第三章  20％

第四章  20％

第五章  15％

第六章  15％

第七章  15％

3、题型分布：

试题主要题型为计算题和证明题等多种题型

4、其他规定：

无