2019年辽宁大学环境学院硕士研究生招生考试《数学》考试大纲

2019年辽宁大学硕士研究生招生考试《数学》考试大纲

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

三、试卷内容结构

一元函数微积分约68%

多元函数微积分约32%

（一）、函数、极限、连续

　　考试内容

1. 函数的概念及表示法；

2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；

3. 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形；

4. 初等函数、函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质；

5. 无穷小量和无穷大量的概念及其关系；无穷小量的性质及无穷小量的比较；

6. 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质。

考试要求

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　3.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　4.掌握极限的性质及四则运算法则。

　　5.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　6.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

　　9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、大值和小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

（二）、一元函数微分学

　　考试内容

1. 导数和微分的概念；

2. 导数的几何意义和物理意义；

3. 函数的可导性与连续性之间的关系；

4. 平面曲线的切线和法线；

5. 导数和微分的四则运算；

6. 基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；

7. 微分中值定理；

8. 洛必达（L'Hospital）法则；

9. 函数单调性的判别；

10. 函数的极值；

11. 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；

12. 函数的大值与小值。

　　考试要求

　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

　　3.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

　　4.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。

　　5.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

　　6.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的大值和小值的求法及其应用。

　　7.会用导数判断函数图形的凹凸性。

（三）、一元函数积分学

考试内容

1. 原函数和不定积分的概念；

2. 不定积分的基本性质；

3. 基本积分公式；

4. 定积分的概念和基本性质；定积分中值定理；

5. 积分上限的函数及其导数；

6. 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式；

7. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法；

8. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。 

　　考试要求

　　1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

　　2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

　　3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

　　5.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积等）及函数平均值。

（四）、常微分方程

　　考试内容

1. 常微分方程的基本概念；

2. 变量可分离的微分方程；

3. 齐次微分方程；

4. 一阶线性微分方程；

5. 可降阶的高阶微分方程；

6. 线性微分方程解的性质及解的结构定理；

7. 二阶常系数齐次线性微分方程；

8. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。 

　　考试要求

　　1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

　　2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。

　　3.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。

　　4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

　　5.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。

（五）、多元函数微积分学

考试内容

1. 多元函数的概念；

2. 二元函数的几何意义；

3. 二元函数的极限与连续的概念；

4. 有界闭区域上二元连续函数的性质；

5. 多元函数的偏导数和全微分；

6. 多元复合函数、隐函数的求导法；

7. 二阶偏导数；多元函数的极值和条件极值、大值和小值；

8. 二重积分的概念、基本性质和计算。

考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域二元连续函数的性质。

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的大值和小值，并会解决一些简单的应用问题。

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

参考书目：

[1] 同济大学数学系．高等数学(本科少学时类型)(第4版)(上册)．北京：高等教育出版社，2015.

[2] 同济大学数学系．高等数学(本科少学时类型)(第4版)(下册)．北京：高等教育出版社，2015.

[3] 同济大学数学系．高等数学学习辅导与习题选解(本科少学时类型)(同济·第4版),2015.