2019年沈阳建筑大学机械学院博士研究生招生考试矩阵与数值分析科目考试大纲

博士研究生招生考试矩阵与数值分析科目考试大纲

一、 考查目标

矩阵与数值分析课程含数值分析和矩阵理论（部分）内容，是数学学科的一个分支。它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。本考试为博士研究生生入学考试，考核内容是基本、常用的数值计算方法及其理论，包括

1、 了解误差和有效数字概念，理解数值运算的误差估计，掌握算法的数值稳定性概念、数值计算中的一些基本原则；

2、 了解二分法算法，理解迭代法的一般理论、迭代收敛的阶及加速技，掌握牛顿迭代法迭代格式及应用；

3、 了解高斯消元法算法思想，理解列主元消元法与三角分解算法，掌握矩阵的直接三角分解方法，掌握向量和矩阵范数范数概念和计算方法，了解方程组的条件数及计算；

4、 掌握雅可比迭代和高斯赛德尔迭代的计算格式，理解雅可比迭代和高斯赛德尔迭代的收敛性判断方法，了解超松驰迭代法的计算格式及收敛性判别方法；

5、 掌握拉格朗日插值公式，理解多项式插值的存在唯一性定理和插值误差估计公式，掌握均差与牛顿插值公式，了解分段线性插值与多元函数插值方法、埃尔米特插值方法、样条插值方法；

6、 了解数学拟合的概念，掌握曲线拟合的小二乘法算法和原理，理解正交多项式和佳平方逼近方法；

7、 理解插值型求积公式的概念和方法，了解插值中的代数精度概念，掌握复合求积公式及算法，理解外推原理与Romberg算法，理解高斯求积公式及其复合公式，掌握数值微分方法；

8、 掌握求解一阶常微分方程的简单数值方法，理解四阶龙格库塔方法，了解单步法的收敛性和稳定性，了解线性多步法，了解一阶常微分方程组和高阶方程求解方法。

9、 了解向量范数与矩阵范数的概念，掌握一些常用的向量范数与矩阵范数，了解矩阵范数与向量范数的相容性。

10、 了解收敛矩阵的概念，了解矩阵幂级数收敛的判定，掌握常用矩阵函数值的计算，掌握函数矩阵的导数的计算。

11、 理解矩阵的奇异值分解。

12、 了解广义逆矩阵，掌握利用广义逆矩阵求解线性方程组。

二、考试形式与试卷结构

（一）试卷满分及考试时间

(满分均为100分，考试时间为3小时)

（二）答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

（三）试卷内容结构

内容结构为各部分知识点

误差分析

非线性方程求根

求解线性代数方程组的直接方法

求解线性代数方程组的选代法

插值法

函数逼近与曲线拟合

数值积分和数值微分

常微分方程初值问题近似求解方法

矩阵范数计算

矩阵幂级数

奇异值分解

广义逆矩阵求解方程组

小二乘问题

（四）试卷题型结构

常见题目类型包括：基本概念题、计算题、证明题。

试卷分值分布：

基本概念题20分

计算题60分

证明题20分。

三、考查内容及要求

(一)误差分析

(二)非线性方程求根

(三)求解线性代数方程组的直接方法

(四)求解线性代数方程组的选代法

(五)插值法

(六)函数逼近与曲线拟合

(七)数值积分和数值微分

(八)常微分方程初值问题近似求解方法

(九)范数理论及其应用

(十)矩阵分析及其应用

(十一)矩阵分解

(十二)广义逆矩阵

(十三)小二乘问题

四、考试用具说明

考试使用黑色笔答题。

五、主要参考书目

《数值分析》，钟尔杰、黄廷祝编著，2004年7月第一版，2010年12月第五次印刷，高等教育出版社。

《矩阵理论》，黄廷祝、钟守铭李正良编著，2003年8月第一版，高等教育出版社。